Născut la Bucureşti, pe 21 mai 1933, Udrea şi-a început cariera de jucător la Metalul Bucureşti, pe postul de centru, în anul 1947, sub bagheta antrenorului Toma Moldoveanu, întru-un joc din categoria Promoţie, contra echipei Petrolul. S-a făcut remarcat încă din această partidă, înscriind două eseuri. La seniori a jucat pentru Gloria Bucureşti, avându-i colegi pe Mihai Naca, Paul Soare, Mircea Vătui, Mihai Gavrici, Dorel Dumitrescu.
După încheierea carierei de jucător, Constantin Udrea a rămas aproape de rugby, însă ca arbitru, activitate pe care a desfăşurat-o între 1967 şi 1988. A oficiat aproape 500 de meciuri în campionatul intern, precum şi 18 partide internaţionale (1975 -1988) alături de Theodor Witting, Gabriel Eftimescu, Ioan Vasilica, Puiu Huştiu.
A deţinut mai multe funcţii oficiale, precum secretar general adjunct al Federaţiei Române de Rugby, între 1993 şi 2000, preşedinte al Comisiei Centrale de Arbitri în perioada 1990-2000, presedinte al Comisiei de Competiţii a FRR în perioada 1993-2000 şi secretar general al Asociaţiei Municipale de Rugby Bucureşti între 2000 şi 2005.
